同僚の先生と話していて、こんな問題が話題になった。問題文がどうも曖昧なのだ。少しずつ書いてみる。
「１辺の長さが１である正六角形ＡＢＣＤＥＦから３個の頂点を無作為に選び三角形を作る。」
ここだけ読むと「６個の点があって、そこから適当に異なる３点を選ぶんだな」と思うでしょ。問題文におかしな所はない。
「この三角形の面積の期待値を求めよ。」
期待値とは何か、ということはご存知無くてもかまいません。「その三角形の面積はいろんな場合があるけれど、平均したらどれぐらいなのか」ということを求めると思って下さい。同僚の先生と議論になったのはこの後の但し書きなのだ。
「ただし、選んだ３点のうち、２点以上が一致している場合は三角形の面積は０とする。」
ここで「あれ？」と思うでしょ。初めに「異なる３点を選ぶんだな」と思ってたのはどうやら間違いのようで、同じ点を２回以上選んでもよいらしい。例えば、Ａ、Ａ、Ｂと選んだら、「三角形ＡＡＢの面積は０」と見なすようなのだ。
とはどういう意味にとらえるべきなのだろう。「同時に３個を選ぶ」のだろうか、それとも、「時間差を付けて３個を選ぶ」のだろうか。
「同時に３個」であれば、「Ａを３個」（おかしな表現だが許されよ）と「Ａ２個、Ｂ１個」は同じ確率で起こるのだが、「時間差を付けて３個」であれば、「Ａを３個」より「Ａ２個、Ｂ１個」の方が３倍の確率で起こるはずだ。何故なら、「ＡＡＢ」「ＡＢＡ」「ＢＡＡ」と３通りの選び方があるのだから。
こういう曖昧な問題文というのは入試でも時々あるのだけれど、特に確率に関してが多い気がする。例えば、「１０円玉を投げる」という場合は、「表が出る確率も裏が出る確率も１／２」などと言うことは普通書いていない。問題文がくどくなるからだ。
実際に１０円玉を投げたら表の出る確率は１／２ではないと思う。だって、ごくまれには１０円玉は倒れずに立ってしまうでしょ。（＾＾）
「曖昧な文章」に起因するパラドックスを一つ挙げよう。
点Ａを中心とし半径Ｒの円の弦（円周上の２点を結ぶ線分）を無作為に取る。これが、この長さＬが円に内接する正三角形の１辺の長さ（＝√３・Ｒ）より長くなる確率をＰとする。
１．Ｐ＝１／２である。
（証明）弦は一定方向に平行に引くと仮定して一般性を失わない。弦の中点Ｍと中心Ａとの距離ＡＭの取りうる範囲は０≦ＡＭ≦Ｒであるが、弦の長さＬがＬ＞√３・Ｒとなるのは、０≦ＡＭ＜Ｒ／２の場合なので、Ｐ＝１／２。
図１ ２．Ｐ＝１／３である。
（証明）弦の一方の端は固定しておいて一般性を失わない。Ｌ＞√３・Ｒとなるような、もう一方の端点の範囲は円周の１／３であるから、Ｐ＝１／３。
図２ ３．Ｐ＝１／４である。
（証明）Ｌ＞√３・Ｒとなるのは、弦の中点をＭとして０≦ＡＭ＜Ｒ／２の場合である。点Ｍがこの条件を満たす確率は、
（半径Ｒ／２の円の面積）／（半径Ｒの円の面積）＝１／４．
よって、Ｐ＝１／４。
図３
以上より、Ｐ＝１／２＝１／３＝１／４である。(？？？)
このパラドックスが生じる原因は、「弦を無作為に取る」というときの「無作為」と言う意味が曖昧な所にある。実際、図１から３に行くに従って、「長い弦」ほど選ばれる確率が小さくなっている。
（注）弦の長さを微小変化させたときのＭ（図２なら弦の端点）の動き得る範囲を比べれば、確かめられる。
では、この確率はどれが正しいのだろうか？ 「無作為」の考え方次第なのだとは承知の上で、答を出して見ようではないか。実験すればよいのだ。（無茶苦茶（＾＾））
確率の実験で有名なものに「ビュフォンの針」と言うのがある。「等間隔で平行線をたくさん引いておいて、その間隔と同じ長さの針を投げ落とすと、針が平行線に交わる確率は、２／π」というびっくりするような定理をもとにした実験だ。この定理から、何度も針を投げ続けると確率から円周率πの近似値を求めることが出来るのだ。
これに倣って、小さい円を描き、その円の直径より十分長い棒を無作為に投げる（「投げる」しか倣ってないか（＾＾））。棒が十分長いから、円と交わる場合は２点で交わる事になるであろう。それで出来る弦が「無作為に取った弦」と見て良いであろう。それをＮ本とし、そのうち円に内接する正三角形の１辺より長くなってる本数をｍ本とすれば、Ｐ＝ｍ／Ｎになるではないか！
（注）「等間隔の平行線をたくさん引いて小さな円盤を投げて、交わったときの弦を考える」というのはダメです。それだと、図１の状態を考えることになってしまいます。
さぁ、みなさん、直径１センチの円と２メートルぐらいでしかも非常に細い棒を用意して実験しましょう。
困難な実験ではあるんですけどね。広い場所でないと無作為に投げることが出来ないし、広い場所で無作為に投げると円に棒が交わることはほぼあり得ないから延々と投げ続ける必要があるし。でも、真実の探求のためだから仕方ないでしょ・・・。私がやって見ろって？私は以前、１０円玉を１０００回投げて表の出る確率が１／２になるか確かめたことがあるので（１０円玉がいつまでも転がってなかなか倒れないことがあった。もう少しで立ったな、あれは）、今回は勘弁して下さい。その程度でも翌朝はももがパンパンに張って大変だったんです。(^_^;)
☆7.15/1998追記。「ビュフォンの針」での「確率＝２／π」の証明を考えると、上記の実験がうまくいったとすると、Ｐ＝１／２が成り立つと思う。それでも「Ｐ＝１／２が正しい」とは言えず、「無作為な弦の選び方」として「Ｐ＝１／２」になるような選び方をする実験であったということしか意味しないはずである。
では、「Ｐ＝１／３」や「Ｐ＝１／４」となるような実験はどのようなものなんだろう？謎は深まるばかりである。誰か教えて。