（不等号の等号は、ＡＢが直径のとき）
私が書いたテキストについて、以前、ある先生からいろいろ指摘を受けたことがある。そのときは一度に大量の指摘を受けたのだが、あまりに大量なので殆どを忘れてしまった（家庭生活で身につけたテクニック）。ただ、一つだけは印象が強くて覚えている。
どういうことかというと、ある問題の解答に次のようなことを書いたのだが、「この論証は根拠を示していないから誤りだ」と言われたのだ。
これにどういう根拠を付けるべきなのかは教えてもらわなかった（残念）ので、推測するしかないのだが、どうやら
のいずれかを用いて（おそらく命題Ｐ１の方だろうなぁ）、つまり「命題Ｐ１が成り立つから、」とか「命題Ｐ２が成り立つから」とか書いた上で
が成立すると書かなければいけない、ということらしい。
Ｐ１からＰ２が示されるのは明らかだし、Ｐ２が成り立てば、Ｑが成り立つこともすぐ判る。すなわち、中心Ｏ、半径Ｒの円周上に２点Ａ、Ｂをとり、Ｐ２を用いて
とすればよい。（Ｑを示すのには、Ｐ１より弱く見えるＰ２で十分なんだな。）
以上から、
となっていることが判る。私に命題Ｑの論証が不十分だと言った先生が言わんとしたことは、このことであろうと思う。（他にあるか？）
Ｐ１、Ｐ２は確かに明らかに正しい命題に見える。しかし、Ｑもそれに劣らず明らかに正しい命題に見えるではないか。何故、Ｐ１やＰ２をＱの根拠にせねばならないのだろう？
実は、（１）でＰ１とＱをいれかえた
が証明できる。つまり、Ｐ１、Ｐ２、Ｑは必要十分の関係なのだ。したがって、「Ｐ１ないしＰ２をＱの根拠にすべきだ」という意見はおかしいと思う。
Ｑが成り立てばＰ２が成り立つのは明らか（上の図を見ればいい）だから、Ｐ２が成り立てばＰ１が成り立つことを示してみよう。
三角形ＡＢＣにおいて、直線ＢＣ上に、
となる点Ｂ’とＣ’をとる。例えば、∠Ｃ＜∠Ｂ＜９０°の場合は次の図のようになる。（こうでない場合は省略。同様に出来る。）
命題Ｐ２により、
となり、辺々を足せば、
ＢＣ＝Ｂ’Ｃ’ より、ＢＢ’＋ＣＣ’＝２BＣ となるから、
この証明は厳密にはどこか怪しいのかも知れない。例えば、「ＢＣ＝Ｂ’Ｃ’」なんてのは三角形ＡＢＣとＡＢ’Ｃ’の合同から導かれる事だけど、三角形の合同条件「２辺とその間の角がそれぞれ等しければ合同」を示すのには何が必要なのか、私は知らない。だいたい、Ｂ’やＣ’という点が存在するのはどうして言えるのか、なんて疑問に答える能力は私にはない。（少なくとも興味がない。）
Ｐ１やＱについて考えれば考えるほど、「距離って何？」「線分って何？」「平面幾何って何？」という話に帰着していって、とても受験生に要求できないレベルの話になってしまう。（私にも要求しないでね。(^^ゞ）
何を根拠として証明するかというのは大切なことなんだけど、ある大学教授が答案の書き方について語ったように「明らかなことをくどくど示す必要はない」と思う。
命題Ｐ１とＱはニワトリと卵みたいな関係であり、どっちが先なのかなんてわかりはしないのじゃないかな。必要に応じて使いやすい方を使えばいいでしょ。卵焼きを作りたくて卵を買ってきたのに、
なんて言われても、困ってしまう。そんな感じの指摘だと私は感じたのだった。
いずれにせよ、（２）を証明するのが面白かったから満足なんだけどね。(^^ゞ
☆10.15/1998追記。Ｐ２を言い換えると「直角三角形は斜辺が一番長い」となるなぁ。こう考えれば、上の三角形の図で点Ａから直線ＢＣに垂線を下ろして「Ｐ２⇒Ｐ１」を証明するのも簡単だ。（２）は余計明らかに思えてきた。