大げさな表題だけどそれには訳がある。今年初めに職場で「ウチの寮生相手に受験を離れた講演（十数名ぐらいの希望者の前で話すってだけのこと）をして欲しい」と言われたときに、その場ででっち上げた題名がコレなのです。うちの業界はハッタリも能力のうち、というか大きな能力なんでね。（笑）
結局この講演はやらなくて済んだのですが（ホッ）、理系の寮生が聞く話なので、数3の微積に絡めて無限小解析の触りでも話そうかと思っていたのです。
なんて聞いたら意外に思うだろうナァ、逆説に聞こえるだろうナァと、依頼されたときに咄嗟に思い浮かんだのでね。
こういう話をご存知でない方のために、少し解説してみようというのが今回の話です。実は過去に2，3度、ボクの所に授業の質問に来た生徒に色々答えるうちに何故か話が発展してこんな話をしたことがあります。（生徒には迷惑だったかも知れない。(^^;)）
********** 自然数に関する証明可能な命題全体の集合をＴ と表すことにします。例えば、「１＜３」は証明可能ですから、「１＜３」∈Ｔ となります。（『１＜２かつ２＜３であるから、１＜３』ってやればいいですね。） ただし、αという記号は用いずに命題を書いて置くことにします。（適当に記号を置き換えればもちろん可能です。）
Ｔ を直接見たことのある人（ちょっと意味不明？）は一人もいませんけど、ボクらは Ｔ は無矛盾であると考えていますね。つまり、「Ｔ から命題Ｐとその否定¬Ｐ（Ｐでない）の両方が証明されることはない」と見なしています。別の言い方をすれば、「自然数の理論は無矛盾である」と考えています。（自然な考えですよね）
例えば、「１＜３」とその否定「１≧３」の両方が証明されることはないでしょ。（後者は証明できないはず！）
ここでαと言う記号（ただの記号です。具体的な数ではありません）を用いて次のような形の無数の命題を考えます。
「αは自然数である」、「１＜α」、「２＜α」、「３＜α」、・・・ つまり、任意の自然数ｎに対して「ｎ＜α」という命題を作るのです。これらをＴ に加えた集合をＴ' としましょう。すなわち、
Ｔ' ＝ Ｔ ∪ ｛「αは自然数である」、「１＜α」、「２＜α」、「３＜α」、・・・｝
（Ｔ につけ加えた命題たちが少々異様に見えるかなぁ。）Ｔ' は矛盾しているでしょうか？それとも無矛盾でしょうか？
Ｔ' が矛盾していると言うことは、Ｔ' からＰと¬Ｐの両方が証明されてしまうような命題Ｐがあると言うことです。その証明を考えてみると、Ｔ' に含まれる命題のうち有限個の命題（有限個と言うところがポイント。決して無限個ではない）を使ってＰと¬Ｐの両方が証明されるはずです。ですから、その証明に現れる記号αを十分大きな具体的な自然数にうまく置き換えれば（こう言うことが可能なのは、証明で使われるＴ' に含まれる命題が有限個だからです）、その証明で使われる命題は全てＴ に含まれる命題（∵αは十分大きな自然数に置き換えた）ですし、そこで導かれる命題もＰと¬Ｐをαを含まないように書き換えたＱと¬Ｑになっているはずです。
以上から、Ｔ' が矛盾していれば、Ｔ からＱと¬Ｑの両方が証明されしまうような命題Ｑが存在することが判ります。つまり、
Ｔ' が矛盾しているならば、Ｔ も矛盾している となります。しかし、ボクらは Ｔ は無矛盾である と考えています。したがって、Ｔ' は無矛盾 です。
そして、Ｔ' を見ると、
「αは自然数である」、「１＜α」、「２＜α」、「３＜α」、・・・ という命題がありますから、Ｔ' の世界ではαは「１，２，３、・・・」のどれよりも大きな自然数なのです。
こう聞くと「αは最大の自然数になってしまうぞ。しかし、自然数に最大のものはないはずだ」と混乱するかも知れません（逆説ですね）。しかし、「αが最大の自然数」というのは誤解です。Ｔ' の世界では「α＋１、α＋２、・・・、２α、・・・」なども自然数であり、これらは皆αより大きいからです。あくまで、ボクらが通常思い浮かべる自然数ｎに対して「ｎ＜α」となっているだけなのです。
********** 上の話は昔聞いた竹内外史先生の講義を思い出しながら書いたものですが、ボンクラ学生だったボクのうろ覚えなのでおかしなところもあるかもしれません。興味があれば、この話は外史先生の「＊（スター）の世界」という本になっていたはずなのでそちらをお読み下さい。ただ、amazon.co.jpで検索しても出てきません。(^^ゞ 外史先生の「無限小解析と物理学」にも書いてあったかな？ どっちも本棚を探せば出てくるはずだけど収拾付かなくなってるからな。
ところで、今日中に書かなきゃいけない仕事の原稿があるんだけど、こういう時に限ってこういうものを書いてしまうと言うのが私の最大の逆説であり悩みだな。φ(＾＾;)