今回は､高校数学はかすかに覚えてるという感じの人(社会人や大学の３,４年生あたりかな）を読者に想定して書きます｡

先日､高校２年生対象の模試を実施した｡採点基準を作るために数百枚の答案をざっと眺めたのだけど､驚いたことに「３次関数のグラフの接線で原点を通るもの」が求められない生徒がとても多いのだ｡少数派か多数派かという分け方なら､ダントツの多数派だ（面倒な言い方をしてるのは正確な集計はまだ出てないせい）。その理由はおそらく､数２の教科書にそういう問題が載ってないからだと思う｡

こう書くと「何でその程度の問題が載ってないんだ？」という反応と「教科書にないものを出題するなよ」という反応があるだろうから､順番に答えようと思う｡

数２の教科書は「整式の微分積分」を扱ってるのだけど、奇妙なことに「微分は３次関数まで､積分は２次関数まで」という制限がある｡だから､教科書には微分法の公式は、

とわざわざ「n=1,2,3」と断っている。「ｎが正の整数」とは書かないのだから、変だ｡微分が３次までだから､積分で扱える関数は当然、２次までになってしまう（積分は微分の逆演算と教えるのが高校の数学）ので､積分の公式には「ｎ＝0,1,2のとき」と書いてある｡

何でこんな中途半端な書き方がしてあるかというと､現在の高校の教科書での「因数定理」の扱いにその原因がある｡すなわち､従来の教科書がいかに改訂されて現在の教科書になったかというと､

１．従来の教科書では数１で整式を扱い､ここで「因数定理」まで踏み込む｡しかし､この定理は生徒には取っつきにくく､数学嫌いを生む原因の一つなので、高校の必須科目である数１からはずす｡

２．「因数定理」は１年生では難しいのだから､２年生に回す｡それも数２ではなく数Ｂの方に入れる｡数２は教科書を全部履修する必要があるが､数Ｂなら４単元の中から２単元を選べばよいので「因数定理」の入った単元(複素数)を履修しなくても単位は認められる｡従って､数２を学ぶのに「因数定理」は不要であるべきとなる｡

3.高校では３次方程式を解くのに「因数定理」を用いるから､これを知らない生徒でも数２を履修できるためには､数２に３次方程式が登場できない｡従って､微分法・積分法で３次方程式が絡んでくる内容は、数２から除かれる。

４．４次関数の増減を調べるという問題は数２から除く｡「導関数＝０」という３次方程式を解く必要があるからだ｡よって､４次関数の微分を教えても仕方ないので､４次関数の微分自体を数２から除く。つまり､数２の微分は３次まで｡

５．微分が３次までだから､数２の積分は２次までとなる。だって､３次関数を積分しようとすると､微分して３次関数になる関数を求めることになり､どうしても「４次関数を微分して３次関数になる」という知識が必要だが、これは教えないのだから｡

６．３次関数のグラフの接線の方程式は、接点が具体的に与えられている問題は数２で、もちろん扱ってよい｡しかし､「与えられた定点を通る接線を求める」という問題は､接点のｘ座標についての３次方程式を解く必要があるから､数２から除く｡

こんな感じで、「因数定理は難しい」から始まって､「風が吹けば・・・」式の連鎖の末､「定点を通る接線を求める」という問題が数２の教科書から消えてしまった。

とはいえ､このタイプの問題は昨年の入試でも出題されている（北海道教育大､福島大、防衛大､西南学院など）。予備校の模試ではやはり数２の範囲でも出題すべきと考えて、今回出題したのだが､因数定理を知らなくても解けるように、

原点を通る３次関数のグラフについて､原点を通る接線を求めさせる

という形で出題した｡これなら､接点のｘ座標についての３次方程式は､０が重解なんだから、因数定理は知らなくてよい｡

これなら大丈夫だよな､ちゃんと解いてくれるよなと思ったのだけど、平均点は悪そうです｡このあとにつけた問題で差を付けるつもりだったのに、その前でつぶれそう｡

教訓：生徒が見たことない形式の問題は､実際は易しくても平均点は下がる｡

数２；数学２の略（本来はローマ数字）。整式の微分積分､図形と方程式(座標幾何）、三角関数､指数対数を扱う｡旧課程の基礎解析に相当｡もっと前なら､数学２ｂ。（戻る）

書いてある；少なくとも､手近にあった啓林館と数研出版ではそうなってる｡数研の一番ハイレベルなもの(著者が「永尾　汎」で始まるやつ)でさえそうなのだ。あの受験参考書のような教科書でさえもねぇ。(戻る）

因数定理；「f(x) を整式とし、方程式 f(x)=0 がａを解に持てば､ f(x) は x-a で割り切れる」という「そりゃそうでしょ」という感じの定理｡(戻る）

３次方程式を解く;高校での３次方程式 f(x)=0 の解き方は､解ａを一つ見つけて(たいてい定数項の約数）、すると因数定理より f(x) は x-a で割り切れることがわかるから因数分解してみて、残りの解を求めるという方法を採ります｡(戻る）